第2题图证明：延长CD到P点，使D为CP的中点，连接PA和PB，则四边形PACB为矩形；由矩形的性质可知矩形的对角线相等且互相平分，所以CD=1/2AB。第11题图证明：∵作AG∥BD交DE延长线于点G∴△AGE≌△BDE∴AG=BD=5∴△AGF∽△CDFAF=AG=5∴DC=CF=2。若成立请给予证明；若不成立请说明理由。
1、 如图 在 △ABC 中 ，AB = 4，AC=2，D 是 BC 中点，若 AD 是整数，求 AD 的长度？
第1题图
解：延长AD到E,使AD=DE
∵ AB-BE＜AE＜AB BE 即 1＜AD＜3
∴ AD = 2 。
2、 如图，在△ABC 中 ， D 是 AB 的中点，∠ACB=90°，求证： CD = 1/2 AB 。
第2题图
证明：延长CD 到 P 点，使 D为 CP 的中点，连接 PA 和 PB ，则四边形 PACB 为矩形；
由矩形的性质可知 矩形的对角线相等且互相平分，所以 CD = 1/2 AB 。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、如图，在五边形 ABCDE 中 ，BC = DE，∠B = ∠E，∠C = ∠D，F 是 CD 中点，求证：∠1=∠2 。
第3题图
证明：
连接 BF 和 EF ∴ △BCF ≌ EDF (SAS) ∴ BF=EF, ∠CBF=∠DEF
连接 BE ∴ ∠EBF=∠BEF
∵ ∠ABC=∠AED ∴ ∠ABE=∠AEB
∴ AB=AE ∴ △ABF ≌ △AEF ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4、如图，在 △ABC 中 ∠1=∠2，CD = DE，EF//AB，求证：EF = AC 。
第4题图
证明：
过点 C 作 CG∥EF 交AD 的延长线于点 G，由CG∥EF，可得 ∠EFD＝∠CGD ；
∴ △EFD ≌ △CGD EF＝CG ∴ △AGC为等腰三角形，GC = AC 。
易证 △DFE ≌ △DGC （AAS） ∴ GC = EF = AC 。
5、在 △ABC 中， 已知 AD 平分 ∠BAC，AC = ABBD，求证：∠B = 2∠C 。
第5题图
证明：
延长 AB 取点 E，使 AE ＝ AC，连接 DE
∴ △AED ≌ △ACD （SAS） ∴ ∠E = ∠C
∵ AC = ABBD ∴ AE = ABBD = ABBE ∴ BD = BE
∴ △BED 为等腰三角形
∴ ∠B = 2∠C （三角形外角和定理） 。
6、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B ∠D=180°，求证：AE=AD BE 。
第6题图
证明：
在AE上取点 F，使 EF＝ EB，连接 CF
∵ CE⊥AB ∴ △CEB ≌ △CEF ∴ ∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴ AD＝AF ∴ AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，点 E 在 AD上 。
求证：BC = ABDC 。
第7题图
证明：
在BC上截取BF=AB，连接EF
∴⊿ABE ≌ ⊿FBE（SAS） ∴∠A = ∠BFE ∴ ∠D = ∠CFE
∴ ⊿DCE ≌ ⊿FCE（AAS） ∴ CD = CF ∴ BC = BF CF = ABCD 。
8、如图，已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C。
第8题图
证明：
E点是射线 BA,CD 的交点，则：△AED 是等腰三角形 。
∴AE=DE ∴ BE = CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C。
9、如图，点 P 是 ∠BAC平分线 AD 上一点，AC > AB，求证：PC - PB < AC - AB 。
第9题图
证明：
在AC上取点E， 使AE＝AB；
∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB PC＜EC＋PE ∴ PC＜（AC－AE）＋PB
∴ PC－PB＜AC－AB 。
10、如图， 已知 ∠ABC =3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC - AB= 2BE 。
第10题图
证明：
在AC上取一点D，使得∠DBC=∠C
∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC = 3∠C - ∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C ∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰△ABD 中，点 E 一定在直线 BD 上，
在等腰△ABD中，∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB= 2BE 。
11、如图，已知，点 E 是 AB 的中点，AF = BD，BD = 5，AC = 7，求 DC 的长度。
第11题图
证明：
∵ 作 AG∥BD 交 DE 延长线于 点 G
∴△AGE ≌ △BDE ∴ AG = BD = 5
∴△AGF∽△CDF AF=AG=5 ∴DC = CF = 2 。
12、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M。
（1）求证：MB=MD，ME=MF ；
（2）当E、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由。
第12题图
证明：
（1）连接BE，DF
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF。
13、已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点 。
（1）求证：△AED ≌ △EBC；
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形，
（直接写出结果，不要求证明）。
第13题图
证明：
（1）∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE
∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE
∴△EBC ≌ △EDC ∴△AED ≌ △EBC
（2）略 。
14、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 是 ∠ABC 的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于点 F，求证：BD=2CE。
第14题图
证明：
易证 ∠FCA = ∠DBA
∴ △AFC ≌ △ADB ∴ FC = BD
再证 △BFE ≌ △BCE （或 △FBC 为等腰三角形）
∴ EF = EC ∴ BD = 2CE
15、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF 。
第15题
证明：
（1）△ABF ≌ △AEC（SAS）；
（2）如图，根据（1）知 △ABF ≌ △AEC，
∴ ∠AEC=∠ABF， 在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴ EC⊥BF 。
第15题答图
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