最终输出端uo维持在-6V，达到动态平衡。输入、输出信号轮的大小之比等于输入阻抗与反馈阻抗之比，输入信号轮的半径和旋转角频率即为输入正弦波的幅值和角频率，输出信号轮亦然。只有ui负向继续增加，才能使u①变为负，使uo≡-Uo，所以电路出现滞环特性。电容电压最大值即为运放饱和输出电压Uo。
摘 要： 通过引入杠杆原理深度剖析运算放大器的工作特性，给出比较器与放大器、积分与比例积分电路、微分与比例微分电路、PID调节器的电路运算本质。如比较器与放大器的本质区别是反馈形式不同，积分电路的积分过程是恒流源对电容的充电过程，比例积分比积分快及比例微分比微分慢是因为串联电容的电阻起分压作用等。将电路原理映射到杠杆原理中，获得输入与反馈电路中的电阻电容对电路增益及相位的变化规律，用Saber软件仿真，结果验证了理论分析的正确性和有效性。
0 引言
运算放大器是模拟集成电路与控制领域中最常用电子器件之一，传统意义上对运算放大器的理解仅限于公式推导，即便学习和使用运算放大器多年，若不进行深度剖析，很难灵活掌握前人的经验，更谈不上如何创新，当科技知识薪火相传时，缺乏理论依据。如在调试电路时，常常听说“增大某电阻，减小某电容”再试试，这样有可能调试出结果，但因不领悟其精髓，不具有指导意义[1，2]。本文打破单调地推导计算，以杠杆原理的方式直观地解释运算放大器原理，分析几种典型的电路拓扑结构，为运算放大器分析、设计和参数整定提供理论依据。
1 定义运算放大器杠杆原理
为方便计算与分析，设文中运算放大器开环放大倍数A=∞，电压为±13 V，其饱和输出电压近似为Uo(sat)=±12 V。约定电路图反馈节点为①，运算放大器电路如图1所示。
图1中，R1=1 k，RF=2 k，R2为平衡电阻，ui= 3 V，其动态过程如下：设初始状态uo=0，当ui= 3 V时，节点①电压u①为正；根据uo=A·(u -u-)，即uo=A·(0-u①)=[-∞]饱和=-12 V；此时u①变为负，根据uo≡A·(u -u-)，即uo=A·(0-u①)=[-∞]饱和=-12 V；在uo从-12 V到 12 V过渡，经过-6 V时，u①→0，且满足uo≡A·(u -u-)。由于A很大，故可稳定在-6 V。
稳定性分析：若某时刻uo因受扰动变为(-6) ，则uo→0 ，根据uo≡A·(u -u-)，uo→-12 V，输出减小；当uo达到(-6)-时，u①→0-，根据uo≡A·(u -u-)，uo→ 12 V，输出增大。最终输出端uo维持在-6 V，达到动态平衡。
可见，运算放大器的工作特性是由uo≡A·(u -u-)来决定的[3]，可将该式称为运算放大器的本质公式，其本质就是差分放大，即输入增大时，输出会反相增大，输入减小时，输出会反相减小。类似于杠杆，一端升起，另一端就下降，因此引出运算放大器的杠杆原理：在运算放大器线性区，输入ui、输出uo视为杠杆两端，参考节点u①(等同于uref)视为杠杆支撑点，如图2(a)所示，输入、输出与臂长（阻抗值）成正比，将该现象称为运放的杠杆原理1；当运算放大器进入饱和区时，输入ui、参考节点u①视为杠杆两端，输出uo视为杠杆支撑点，如图2(b)所示，输入与参考点电压成正比，将该现象称为运放的杠杆原理2。一般地，放大器类型对应杠杆原理1，比较器类型对应杠杆原理2。
在杠杆原理1中，输入增大，输出反相增大，可理解为滞后180°。现实中的运算放大器开环增益并不是无穷大，一般约为105，速度和精度的要求常常是相互矛盾，高速度要求高的单位增益频率，高精度要求高的直流增益，在一个运算放大器中同时实现高开环增益和大单位增益带宽积是一个比较困难的事[4-6]。有些运算放大器频率特性不好，中高频时开环增益有限，根据本质公式，“虚短”效果不理想，故开环增益越大，调节器就越精准。
正弦波可理解为圆上定点P在圆旋转时形成的波形，如图3所示，该旋转圆等同于正弦波信号，称该圆为信号轮，在杠杆原理上引入信号轮。输入、输出信号轮的大小之比等于输入阻抗与反馈阻抗之比，输入信号轮的半径和旋转角频率即为输入正弦波的幅值和角频率，输出信号轮亦然。输入、输出信号轮旋转方向一致，是因为输入与反馈通道中电流流向一致，纯比例运放输入输出的杠杆原理如图4所示。
纯比例运放输入阻抗与反馈阻抗都是纯电阻，故杠杆输入臂和输出臂是直线，可称该类杠杆为直杠杆；当输入阻抗和反馈阻抗中出现电容时，杠杆要发生弯曲，称为曲杠杆。直杠杆可分析纯比例运放电路及带直流反馈电路静态工作点，曲杠杆可分析交流信号增益及相位关系。
2 比较器与放大器
同相输入端引入反馈的比较器电路拓扑如图5所示。以图5(a)为例分析，当ui为正时，u①为正，根据本质公式，uo→ Uo(sat)，此时u①正向增大，故uo≡ Uo(sat)；当ui为负时，uo≡-Uo(sat)；看似输出只是与输入初始状态同号的Uo(sat)值，其实并不是那么简单。当ui从正向负变化，即便ui=0-，由于uo≡ Uo(sat)，u①仍为正。只有ui负向继续增加，才能使u①变为负，使uo≡-Uo(sat)，所以电路出现滞环特性。
滞环分析：当RF=∞，即反馈回路断开时，该电路是无滞环的比较器；当RF=0，即反馈回路短路时，理想情况下输出为与初始输入同号的Uo(sat)值，实际上初始状态uo≠0，而是与温漂、零漂、平衡电阻大小有关，输出 Uo(sat)或-Uo(sat)随机不定。
滞环条件：滞环特性如图6所示，仍以图5(a)为例分析，图6中的参考范围是指节点①越过参考电压(uref或u②)时输入端的变化范围。由图6(a)知，当输入变化范围大于参考范围时，电路呈现滞环特性；由图6(b)知，当输入变化范围小于参考范围时，理论上，电路输出是与初始输入同号的Uo(sat)值，实际上随机不定。
综上分析，
根据式(1)，可反向求解图5(a)的参考范围：
图5(a)中，设输入信号为 i= Urefsign=5 2sin(2f·t)，其中f=100 Hz。反相输入电压为 Uref=5 V，而不是接地。代入式(2)，求得参考范围为[5-7R1/RF，5 17R1/RF]，而输入电压范围是[5-2，5 2]=[3，7]，若输入范围大于参考范围，则RF>8.5R1。用Saber软件进行仿真，取R1=R2=1 k?，RF分别取8 k?赘、9 k?赘、20 k?赘，运算放大器采用AD817，仿真结果如图7(a)、(b)、(c)所示。若按图5(b)从反相输入端输入，则滞环变为顺时针方向，图7(d)为RF=20 k?赘时的反相输入结果。
图7(a)RF=8 k时，输出仿真结果不稳定；图7(b)RF=9 k时的输入输出已经呈现滞环特性，仿真滞环带与理论值[4.22，6.89]相符；图7(c)RF=20 k时滞环带明显减小，与理论值[4.65，5.85]相符。图7(d)RF=2 020 k时，滞环变为顺时针，与理论值[4.19，5.33]相符。
运算放大器引入反馈有两种形式，如图8所示。一种是同相输入端引入，比较器属于此类，当RF与R1比值变化时，比较器可能进入不稳定区、滞环比较区、理想比较区；另一类是反相输入端引入，放大器属于此类，当RF与R1比值变化时，放大器可能进入跟随区、线性放大区、饱和区（可作比较器用）。
3 积分电路与比例积分电路
图9(a)是典型的有源积分电路，在放大区时，根据本质公式， u -u-→0，即“虚短”成立。设 ui为恒定直流源，u①→0，流过R1的电流恒定，相当于恒流源对电容C充电。电容电荷Q=C·U=I·t。电容电压最大值即为运放饱和输出电压Uo(sat)。电容电压随时间变化关系为U=k·t，其中k为充电速度。充电时间t=R1C。
图9(b)是典型的比例积分电路，由于“虚短”存在，当ui为恒定直流源时，u①→0，流过R1的电流恒定，该电流对电容C充电，RF并不影响充电速度k。电容电荷Q=C·U=I·t。运放饱和输出电压为Uo(sat)，此时电容电压最大值为Uo(sat)-I·RF。
。
积分与比例积分电路输入输出杠杆原理如图10所示，反馈电容的存在直接影响着相位的变化，对于RC电路，输出滞后于输入。通常运算放大器的输入输出反相，作用在反馈电容上，电容的滞后变为超前，基于杠杆原理1，输入输出相差180°，可认为输出比反相波形超前，称为反相超前，反相超前角用字母?渍F表示。图10(a)纯积分电路输出是反相超前90°，比输入滞后90°，称为直角杠杆；图10(b)比例积分电路反相超前任意角?渍F，比输入滞后180°－?渍F，称为任意角杠杆。
带直流反馈的比例积分电路及仿真如图11所示。图11(a)中 其Saber仿真结果如图11(b)所示，实线为仿真波形，虚线为u=-5.7 0.1sin(2?仔f·t 135°)信号波形，可见，该波形幅值和相位与计算结果一致。
4 微分电路与比例微分电路
微分电路与比例微分电路如图12所示，图12(a)中，设ui为恒定直流源，由于电容电压不能突变，故u①=ui，因为“虚短”的存在，u①→0，C中的电荷经RF放电，此时u①>0，根据本质公式，uo≡-Uo(sat)，放电过程电容电流随电压的变化而变化。
Ri分担电容电压，ui不直接的存在，输入端形成RC电路，充满电的电容经过Ri向节点①放电，放电时间t=5时，放电结束。
基于积分电路、比例积分电路、微分电路、比例微分电路输入输出杠杆原理分析了增益与相角的变化关系。同理，将PID调节器映射到杠杆原理1，图15和图16分别为PID电路图和PID输入输出杠杆原理图。
5 总结
引入杠杆原理可以直观分析运算放大器的工作特性，直杠杆可分析比例运放电路及带直流反馈电路静态工作点，曲杠杆可分析交流信号增益及相位关系。并将PID调节电路映射到杠杆原理中，研究了输入与反馈电阻电容对电路增益与相角的影响。通过杠杆原理，深刻剖析了常用典型电路的输入输出关系变化的本质，便于读者对运算放大器电路原理的深刻理解。
参考文献
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