图形的量化---坐标系产生的数学背景经纬线关于用算术方法研究图形的历史可以追溯到古埃及，古巴比伦以及古代中国因为日常生活和生产实践的需要，人们从土地测量开始，后来又发明了面积，体积的计算方法，发明了研究三角形边角关系的有力工具三角函数特。
经纬线
关于用算术方法研究图形的历史可以追溯到古埃及，古巴比伦以及古代中国。因为日常生活和生产实践的需要，人们从土地测量开始，后来又发明了面积，体积的计算方法，发明了研究三角形边角关系的有力工具三角函数。特别是在这个过程中，人们研究了两个重要的问题，这对后来坐标系的建立起到了至关重要的作用：一个是发明了地球表面上和空间星座中的经纬线，用经纬线来确定点的位置，另一个是研究了平面上满足某些条件的点的运动轨迹。
古巴比伦人和古代中国人都利用了数字12发明了被称为黄道的坐标系，用来确定夜空中星座的位置。在地球表面，据说是亚里士多德第一个发明了确定位置的办法，他发现越接近赤道越热，越靠近北极越冷，于是他建议在地球上按南北方位划分五个气候区域，并称这样划分的线为纬线。后来，在亚历山大图书馆从事研究的托勒密在他的8卷本的《地理学》中提出，绘制地图不仅需要维度也需要经度，为了把地球的位置平面化，他设计了扇形的经纬线，绘制出著名的“托勒密地图”，虽然这个地图并不实用。
阿波罗尼奥斯
谈到运动轨迹的研究，就必然要涉及古希腊学者关于圆锥曲线的研究。据说，古希腊学者热衷于研究圆锥曲线是与倍立方问题有关，或者与日晷有关，日晷是古代的一种利用日影定时的仪器。圆锥曲线研究的集大成者是亚历山大图书馆的学者阿波罗尼奥斯（约公元前262-约前190），他的巨著《圆锥曲线论》对后世产生了很大的影响，并启发笛卡尔发明了直角坐标系。这部巨著共分8卷，含487个命题，前4卷是基础部分，后四卷是拓展，但最后一卷遗失了。《圆锥曲线论》这部书的思想非常深刻，但因为没有更多地使用数学符号和公式，特别是没有给出用于直观解释的图形，使人难以理解，现在书中的图形大多是后人根据书中的阐述补加的。
与欧几里得的《原理》一样，《圆锥曲线论》开宗明义给出了书中要讨论对象的定义，但阿波罗尼奥斯远没有欧几里得表达得清晰。关于圆锥的定义，参见图（1）
图（1）直圆锥
我们归纳如下：
对于给定圆心为O的圆，及圆所在平面外的一点A，连接点A与圆周上任意一点B，并向两端延长得到一条直线，称这条直线为母线。以固定点A为轴心，令母线沿圆周转动一圈回到点B，则母线的运动轨迹就得到两个曲面，称之为圆锥曲面。称A为圆锥的顶点，给定的圆为圆锥的底；如果AO垂直于底，称这个圆锥为直圆锥，否则称为斜圆锥。
如果用一个平面去截这个圆锥，因为平面与母线之间的夹角不同在圆锥曲线上可能截出不同的曲线，但就类型而言，可以得到三种曲线，统称为圆锥曲线。如果平面只与两个曲面的一个相交，那么分两种情况：平面与曲面截出一条开放曲线，即平面与母线都相交，则称这条曲线为抛物线。如果平面与两个曲面都相交，那么，平面与曲面截出两条对称的开放曲线，则称这两条曲线为双曲线。这三种圆锥曲线的名字都是阿波罗尼奥斯给出的，沿用至今。其中，椭圆英文为ellipse，源于希腊语ελλετΨҫ，意为“不足”“缺乏”，可以直译为“亏曲线”；双曲线英文为hyperbola，源于希腊语νπερβоλη，意为“优越”“超越”，亚里士多德曾经用过这个词，指天体与地平线的角距，在这里可以直译为“盈曲线”；抛物线英文为parabola，源于希腊语παραβоλη，意为“并列”“相对照”柏拉图曾经用过这个词，指两个天体处同一经线，在这里可以直译为“齐曲线”。
圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯给出了这三种圆锥曲线的方程，我们知道，要把曲线的方程阐述清楚就必须利用坐标。下面以椭圆为例进行说明，这是在《圆锥曲线论》第1卷中命题13所讨论的，我们用现代语言和符号来阐述。设椭圆曲线上点的横坐标和纵坐标分别为x和y（书中没有明确给出坐标的定义，但已经明确地利用了坐标地思想），利用平行线和相似三角形地性质，可以得到下面的方程
y2=px-px2/2a (1)
其中，p为焦距，a为椭圆长轴的一半。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》第3卷中又专门讨论了椭圆和双曲线焦点的性质，得知p=2b2/a，其中b为椭圆短轴的一半。代入（1）式可以得到
y2/b2=2x/a-x2/a2 (2)
注意到，阿波罗尼奥斯得到上述结论，是把坐标的原点设定在椭圆的长轴的一端，如果把坐标原点设定在长轴的中心，即把x变为x a，则（2）式为
y2/b2=2(x a)/a-(x a)2/a2
整理以后就可以得到现代数学教科书中椭圆的标准方程
x2/a2 y2/b2=1
阿波罗尼奥斯得到的双曲线方程和抛物线方程分别为
y2=px px2/2a (3)
和
y2=px (4)
利用上面处理椭圆方程的方法，可以类似地得到现代意义上的双曲线和抛物线的标准方程。我们把（1）式和（3）式分别与（4）式比较，就可以知道阿波罗尼奥斯为什么把椭圆曲线叫做亏曲线，把双曲线叫做盈曲线，把抛物线叫做齐曲线。
下面，我们进一步讨论椭圆曲线。在现代的教科书中关于椭圆的定义为：
平面上，到两个点的距离之和为一个常数的动点的轨迹。
这个定义是1579年，由意大利数学家蒙地（1545-1607）给出的，事实上，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中已经证明了这个结果。
比利时数学家丹德林（1794-1847）利用两个球给出了上述命题的一个非常直观的证明，后来人们称其为丹德林球。如图（2）所示
图（2） 椭圆定义的直观解释
在一个正圆锥中先放入一个小球，设这个小球与圆锥面相切得到的圆为ω；然后斜放入一个平面，设这个平面与圆锥面相交得到的曲线为α,同时，与小球的切点为O；最后放入一个大球，设这个大球与圆锥面相切得到的圆为ω’，与斜平面的切点为O’。很显然，圆ω所在平面与圆ω’所在平面是平行的。在曲线α上任取一点C，因为球外一点到球的切线均相等，因此CA=CO,CB=CO’，即点C到两个切点O和O’的距离之和总为一个常数，因此曲线α为一个椭圆，O和O’为焦点。
在上面的讨论中我们已经看到了解析几何的影子，但真正引发笛卡尔开始思考坐标系的是所谓“3条或4条直线的轨迹”的问题，阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的第3卷的后半部分专门讨论了这个问题，问题可以描述如下：
“在平面上给定三条直线，令一动点到其中一条直线距离的平方，与到另外两条直线距离的积成正比，求这个动点的轨迹”
如果给定的是四条直线，那么，把到一条直线距离的平方改为到两条直线距离的积。阿波罗尼奥斯用几何的方法研究了这个问题，证明了这个动点的轨迹是圆锥曲线，并为自己能得到这个结论而感到骄傲，他的那本名著的序言中说：
“第3卷包含许多......令人不可思议的和最完美的定理，其中绝大部分都是新的，而且当我们掌握这些时便知道，欧几里得未曾作出的三线和四线轨迹，只有它的偶然的部分才被不很愉快地解出，因为没有我们所发现地事实它们就不可能被圆满解出”
几百年后，亚历山大图书馆晚期地数学家帕斯（约300-350）把这个问题推广到四条以上直线和任意给定角，后来人们称这样的问题为帕斯问题。笛卡尔对帕斯问题很感兴趣，正是在解决这个问题的过程中笛卡尔萌发了建立坐标系的构想，最终发明了解析几何。
