导数专题之同构导数同构第2题已知函数f(x)=eˣ-alnx，若任意x∈（0，∞），不等式f（x）＞alna恒成立求正实数a的取值范围关键点：构造同构式解析：由f（x）＞alna得，eˣ-alnx＞alna，∴e。
导数同构第2题。
已知函数f(x)=eˣ-alnx，若任意x∈（0， ∞），不等式f（x）＞alna恒成立。求正实数a的取值范围。
关键点：构造同构式。
解析：由f（x）＞alna得，eˣ-alnx＞alna，∴eˣ/a-lna＞lnx即eˣ⁻ˡⁿᵃ-lna＞lnx。
两边同时加个x，∴eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna＞x lnx ①
即eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna＞eˡⁿˣ lnx
构造函数g（t）＝eᵗ t，由上可知，
g（x-lna）＞g（lnx）
易知g（t）图像单调递增。
∴x-lna＞lnx
∴lna＜x-lnx
令h（x）＝x-lnx。易证h（x）在x＝1处有最小值。
∴lna＜1
∴a∈（0，e）
重要步骤讲解：
1.eˣ/a＝eˣ⁻ˡⁿᵃ，这是指数的运算法则。
2.①式构造同构式是，需要两边同时加个x。这也提醒各位同学，题型多变，式子变形完后，可能看不出来，需要同加同减同乘同除某式子。这就需要各位同学平时勤加练习。
3.lna＜x-lnx。小于某函数恒成立，就是小于这个函数的最小值。
4.解析中的两个函数图像如下：
