今天内容为答疑篇，回复一位同学关于三余弦定理的咨询。
今天内容为答疑篇，回复一位同学关于三余弦定理的咨询。
首先需要说明一下，三余弦定理不是高中阶段所要求的内容，不了解也不妨碍做题，但知道一些总是好的，三余弦定理的相关内容之前给出过，在立体几何中求异面直线夹角余弦值的那篇中实际上已经给出了三余弦定理的应用，只是当时没有扩展开，只是用三余弦定理求异面直线夹角，链接如下：
思维训练10.投影法求异面直线之间的夹角
1.三余弦定理的基础知识
三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为：
cosX=cosαcosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。
在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示：
从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求的就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。
2.三余弦定理在求直线夹角中的应用
这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：
例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值
解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。
第二题是一道看似简单但很容易做错的题目，根据已知的条件，AB=√3,BC’=4,在三角形ABC'中直接利用余弦定理可得到：
但AC'取得最大值时∠ABC'为0°，这是不可能的，题目中平面BEC'⊥平面ABED,BC'在底面上的投影为BE，利用三余弦公式可知cos∠ABC'=cos∠EBC'cos∠ABE,且角∠EBC'和∠ABE的和正好为90°，因此设∠EBC'=α，∠ABE=90°-α，而且还能知道α的范围为(0,60°)，这样就可通过三余弦定理将一个不确定范围的角度转化为一个确定范围的角度，进而求出最值，过程如下：
3.三余弦定理在求线面角中的应用
从上面第二题能看出，三余弦定理有局限，因为它需要确切的直线投影，所以题目中要出现必要的垂直关系，因此三余弦定理在线面角中的应用也很有局限性，以下面一个题目为例说明一下：
当然这个题目很简单，不用三余弦定理反而更容易求，无论是利用等体积法先求正弦值再求余弦值或者直接找出线面角的平面角都很容易，但若非要往三余弦定理上硬靠，其实就是先确定出平面角，用三余弦定理再求这个平面角的余弦值仅此而已，甚至说有些牵强，线面角不作为三余弦定理的主要应用，关键看下面的二面角。
4.三余弦定理在求二面角中的应用
这三条线如果从同一点出发，就像是三棱锥的顶点和三条侧棱，三条侧棱又组成三个侧面，如何利用三个角的余弦值来求两个面夹角的余弦值呢，看下面的图示和证明过程：
公式证明起来不难，其中会用到三余弦定理中角度的转化，有同学可能觉得公式比较难记，因为公式中总共就三个角度，如上图，求二面角B-OA-C的余弦值时分子为不含OA的面中两条线的夹角减去含OA的两个面中两个线的夹角余弦值，分母中也是含OA的两个面中两条线的夹角，这样就很好记了，如何把这个公式应用在确切的求二面角中，如下两题可解释：
注意本题目更简洁的解法不是三余弦定理，这里还是生搬硬套用一下三余弦定理的推广形式，首先P-CD-A可看做哪三条共起点的射线所成面的夹角呢？很容易看出是共D点，三条线分别为DP,DA,DC，求的二面角为DP，DC组成的面与DC，DA组成的面，所以利用推广形式所求二面角所需的角度为∠ADP，∠ADC，∠PDC,因为题目中存在垂直关系，这三个角度的余弦值也很容易求，过程如下：
由此，用三余弦定理的推广形式求二面角的步骤为：
1.确定出三个面和共起点的三条线段
2.确定出所需角的余弦值和正弦值
3.套用公式(千万不能搞混了)
拆解过程如下：
step1.二面角为B-A'D-A，三个面为BA1D,DA1A,BA1A,共有的起点为A1点，三条线段分别为A1A,A1B,A1D
step2.所需的角度为∠BA1A,∠BA1D,∠DA1A
step3.求二面角B-A1D-A的余弦值，分子为cos∠BA1A-cos∠BA1Dcos∠DA1A，分母为sin∠BA1Dsin∠DA1A,过程如下：
总结：三余弦定理只能作为课本中的补充内容，无论求线线角，线面角还是二面角都应该以书上最基础的方法求，在大题中规规矩矩的建系设点，因为三余弦定理和它的推广形式都要求特定的垂直关系，因此它并不适用于所有的题目中，不可本末倒置，为了用而用。
