存在性问题往往背景复杂，涉及知识广泛，是中考数学中的一类常见的综合性问题．这类问题不仅仅考查学生应用知识的能力，还对学生在不同情境中提取信息、作图、分析、设计方案的能力有较高的要求。对于点的存在性问题经常在函数型和几何型压轴题中出现，探讨是否存在点，使其满足某种特殊关系或图形状态的问题．常以函数为背景，结合动点、动线，考查分类、画图、建等式计算。
A.问题探究：
1. 已知线段AB=2,借助三角板画△ABP ,使∠APB=90°,并思考下列问题：
(1)你能画出满足条件的三角形吗？
(2)这样的三角形能画多少个？
(3)满足条件的P点有什么特点？
(4)你能画出所有满足条件的P点吗？
简析：因为直径所对的圆周角等于90°，因此这样的点P不仅能找到，而且可以画出无数个，它们都集中在以AB为直径的圆上（A、B两点除外）。其实看起来较为复杂的问题，一个"圆"就可以圆满解决。动态演绎如下：
2.已知线段AB=2,借助三角板画△ABP , 使 ∠APB=60°, 并思考下列问题：
(1)你能画出满足条件的三角形吗？
(2) 这样的三角形能画多少个？
(3) 满足条件的P点有什么特点？
类比后，我们利用"圆"也可以解决这个的问题。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点P集中在"以AB为弦，其所对的圆周角等于60°的两段弧上"。动态演绎如下：
B.建立模型：
通过以上两个例子，我们可以得到这样的知识点： 定边、"定角"圆上找。
具体来说： 当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上。动态演绎如下：
C.典型问题举例
类型1 确定存在点可能情形，求解涉及特殊角的有关量
例1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4√3，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____
【分析】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P₃．只要证明∠EP₁F＝∠FP₂F＝∠FP₃E＝30°，即可推出FP₁＝4，FP₂＝8，FP₃＝4√3解决问题．
【解答】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P₃．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵BF＝2，BE＝2√3，AF＝4，AD＝4√3，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝√3/3，∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
易知EF＝OF＝OD＝4，∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP₁F＝∠FP₂F＝∠FP₃E＝30°，∴FP₁＝4，FP₂＝8，FP₂＝4√3，
故答案为4或8或4√3．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例2．问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．
（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．
（3）要满足∠AMB＝60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．
【解答】（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA＝PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°．
∵PA＝PD，AB＝DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP＝CP．
∵BC＝4，∴BP＝CP＝2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA＝DP′．∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°．
∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4．
∴由勾股定理可求得CP′＝√7．∴BP′＝4﹣√7．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD＝AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″＝√7．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA＝PD，则BP＝2；
若DP＝DA，则BP＝4﹣√7；若AP＝AD，则BP＝√7．
（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF＝1/2BC．
∵BC＝12，∴EF＝6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ＝3∴OQ＝OE＝3．∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF＝90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3．
∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，
∴BG＝√3．∴BQ＝GQ BG＝3 √3．∴当∠EQF＝90°时，BQ的长为3 √3．
（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB＝60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，
过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP＝PB＝1/2AB．
∵AB＝270，∴AP＝135．
∵ED＝285，∴OH＝285﹣135＝150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK＝∠GAK＝30°．
∴OP＝AP•tan30°＝135×√3/3＝45√3．∴OA＝2OP＝90√3．
∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．
∴∠AMB＝∠AGB＝60°，OM＝OA＝90√3．
∵OH⊥CD，OH＝150，OM＝90√3，
∴由勾股定理可求得HM＝30√2．
∵AE＝400，OP＝45√3，∴DH＝400﹣45√3．
若点M在点H的左边，则DM＝DH HM＝400﹣45√3 30√2．
∵400﹣45√3 30√2＞340，∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM＝DH﹣HM＝400﹣45√3﹣30√2．
∵400﹣45√3﹣30√2＜340，∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB＝60°，
此时DM的长为（400﹣45√3﹣30√2）米．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．
类型2 确定存在点可能情形，求解涉及特殊角的最值量
例3．【操作体验】
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1）在图②中，连接P₁A，P₁B，说明∠AP₁B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为______ ．
（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为_______ ．
【分析】（1）先根据等边三角形得：∠AOB＝60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B＝30°；
（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC＝90°，则弧BC所对的圆周角都是45°；
（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件；
（4）先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC＝135°，利用勾股定理求OF的长，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．
【解答】（1）∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
由图②得：∠AP1B＝1/2∠AOB＝30°；
（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，
②作BC的中垂线，连接EC，交于O，
③以O为圆心，OE为半径作圆，
则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；
（3）如图④，同理作⊙O，
∵BE＝BC＝2，∴CE＝2√2，∴⊙O的半径为√2，即OE＝OG＝√2，
∵OG⊥EF，∴EH＝1，∴OH＝1，∴GH＝√2﹣1，∴BE≤AD＜MN，
∴2≤m＜2 √2﹣1，即2≤m＜√2 1，
故答案为：2≤m＜√2 1；
（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝90°，在优弧BC上取一点H，则∠CHB＝45°∴∠CPB＝135°，由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，∴PQ＝√2AP，
∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，
当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，
在Rt△AFO中，AF＝1，OF＝3 1＝4，
∴由勾股定理可求得AO＝√17，∴AE＝√17﹣√2＝AP，
∴PQ＝√2AP＝√2（√17﹣√2）＝√34﹣2．故答案为：√34﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．
例4.问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB_____∠ACB（填"＞""＜""＝"）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．
【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB＝90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小．
（2）当点P位于CD的中点时，利用外角性质解答即可；
（3）过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，根据线段之间的关系解答即可．
【解答】（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：
如图1，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点，∴四边形ADEF是正方形，
∴∠AEF＝45°，同理，∠BEF＝45°，∴∠AEB＝90°．
而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．
故答案为：＞；
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大：
（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，
以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置.
【点评】此题考查四边形综合题，关键是根据正方形的性质和三角形外角的性质解答．
