基于对必备品格的认识，对于一般的核心素养来说，学科核心素养也应该是学科相应能力和必备品格的融合。在此基础上，逐渐发展成今天提倡的核心素养。其实包括其他的核心素养，都是“你中有我，我中有你。”
近年来，有一个词汇在教师交流、文章里高频出现，那就是“核心素养”，本文分享的内容同样聚焦这个话题。关于核心素养，大家是如何理解的？有哪些支撑它的东西，并和我们的教学相联系？这些需要我们每一位教师去思考。
一、回顾数学学科核心素养的发展及内涵
目前，很多教师都在核心素养的大背景下进行教学设计，审视教学内容，组织教学活动，并加以实施。到底核心素养什么时候提出，我们对它有怎样的理解？
大家有看过课程标准里关于核心素养的解读吗？这些都是帮助教师在核心素养背景下进行教学的重要基础。
到底什么是核心素养？
按照教育部的文件，学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。
可以看出，核心素养有两大部分组成——关键能力和必备品格。关键能力大家并不陌生，包括认知能力、合作能力、创新能力、职业能力。必备品格又怎么理解？近段时间，一些文献对必备品格进行了阐述，包含创新、严谨、坚强意志、勤奋、坚持不懈、理性、化繁为简、独立思考、实事求是、勇于质疑、数学兴趣……
从数学学科角度讲，数学的品格是一个人的品性。在数学学习过程当中，除了具备一些能力，教师还应该培养具有学科特点的品性。
当然，数学学科突出理性精神，讲究实事求是、勇于质疑，要有克服困难、战胜困难的坚强意志，同时具有创新性和严谨性。
基于对必备品格的认识，对于一般的核心素养来说，学科核心素养也应该是学科相应能力和必备品格的融合。
那么课程里对关键能力有哪些要求呢？这些关键能力又是什么？首先回顾数学课程中关键能力的要求：
从1951年开始，教学大纲逐渐有了观察问题、分析问题的能力，其表达了对数学学习能力层面的要求。到了1952年时，大纲的解释和说明里出现了空间想象力、逻辑的思维力和判断力，借鉴了前苏联课程里的一些内容和要求。接下来在1956年里，大纲提到了逻辑思维、空间、想象力，所以表达上略有一些变化。
最值得关注是1963年，大纲明确提出了我们称之为数学的三大能力——迅速的计算能力、逻辑推理能力、空间想象力。这些要求具有里程碑似的意义。那时，初高中没有分开，而是以一个完整的学段对其提出要求。
从1978改革开放以后，大纲对能力有了更加明确的提出及要求，例如之前的计算和现在的运算，两者也有所差别。计算更多指对数的计算，而运算则扩大了对象范围，包括数、式、向量等。
2000年的教学大纲是一个过渡性的大纲，里边包含了思维能力、运算能力、空间想象能力，解决实际问题的能力，还有创新意识。不过，逐渐出现了意识层面的内容。
原来的三大能力仍然在，然后新增了解决实际问题的能力，形成了“四种能力”。所以我们在原来的基础上，不断地根据课程的发展来变化和增加关键词。目标层面对学生提出既包含了关键能力，又渐渐走向必备品格这一层面的要求。在此基础上，逐渐发展成今天提倡的核心素养。
在2001年颁布的义务教育《数学课程标准（实验稿）》中，提到了6个核心词——数感、符号感、推理能力、空间观念、统计意识、应用意识。其中只有“推理”用了“能力”一词，为什么？原因和年龄段有关，例如“统计意识”对于初中阶段而言，如果用“统计能力”表述，这对学生的要求比较高。所以两者表述有所不同。
那么在6个核心词里边，还隐含了一点问题，运算没有了。这是因为课程标准编制专家加强了合情推理能力这一目标的要求，从此开启了在数学课程、教学里需要经历归纳、概括、类比的过程。所以这里的“推理能力”既指合情推理，也包含了演绎推理，其内涵比之前变得更为丰富，进而也取代了运算。
正是由于这一原因，引发了大家的质疑，运算能力不重要吗？经过不断地思考和研究，2011年版本出现了10个核心概念——数感、符号意识、几何直观、空间观念、推理能力、运算能力、模型思想、数据分析观念、创新意识、应用意识。其中恢复了运算能力。
由此看出，从1951年到现在，教学目标在逐步地增加，课程对学生能力的提升也在变化，从侧面更体现了学生的个性品质。虽然能力是最重要的，但如果仅能解决问题，没有相应的意识和观念，也不行。
所以，数学在培养学生相应能力的同时，还应发展必备的品质。这就是我们现在谈论核心素养的意义所在。
为什么今天会出现核心素养这种提法？我觉得是时代发展对公民素养的要求在不断变化，相应的也需要培养符合时代发展的人才。
就数学学科而言，“要求我们要用数学的眼光来看待这个现实世界，用数学的思维来思考现实的世界，还有用数学的语言来表达这个世界”。这里实际已经高度概括了高中数学课程、义务教育数学课程中明确提出的要求。
比对数学学科核心素养和《义务教育课程标准》，首先对核心素养的要求非常一致，其次就是上诉这三句话——“会用数学眼光，会用数学思维，会用数学语言”的概括。眼光就是看待，思维就是思考，语言就是去描述。这三句话分别和抽象、想象、逻辑推理、运算、建模和数据分析一一对应。
抽象、想象是用眼光看待现实世界，逻辑推理和运算用数学思维思考，建模和数据分析则用数学语言刻画及描述。当我们把这些内涵理解了，再结合核心素养，就能生成对课程标准的深刻理解。
纵观课标的变化，从最开始的关键能力，到核心词，再到核心概念，到现在的核心素养，未来义务教育阶段的核心素养还会继续更新，这也是值得期待的。
当然，这种变化一定是在继承的基础上，增加对课程的思考，对学段的思考，以及对已有核心概念描述的思考。且越来越贴近对学生发展的需求，贴近教师对数学课程自身价值、功能的认识和理解。
二、初高中六大核心素养解读
“数学抽象”与“符号意识”
下面图片里，左边是《高中课程标准》里一段关于数学抽象的描述，“数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。”怎样理解？例如认识三角形，不管用红色笔画的，还是用钢丝围成的，或是木条组合的，都可以抛弃的物理属性，从而抽象出三角形是用首尾相接的三条线段，这是数学抽象的一种表现。
也包括从数量与数量关系，图形与图形关系当中抽象出数学概念，以及概念之间的关系。总的来说，就是从事物的具体背景当中，抽象出一般的规律和结构。
当然大家还可能产生这样的疑问：那推理也在里面，归纳不就是推理吗？其实包括其他的核心素养，都是“你中有我，我中有你。”只是我们在不同的环节、在不同的过程、不同的阶段里，可能更凸显某一素养。例如哥尼斯堡七桥问题，既有抽象的过程，把陆地变成一个点，把桥变成了线段，又有建模的过程。
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。
对比符号意识（义务教育），主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
比如三角形的内角和、勾股定理、三角形全等条件的探索，实际上都是提出命题和模型的一种形式，里面蕴含了数学抽象。三角形内角和是让学生从小学开始通过看具体的三角形过渡到一般的三角形。几乎所有数学命题的得来，都需要学生经历一个抽象的过程。因此，数学抽象是学生非常重要的素养，其抽象的过程可能比结果更重要。
“逻辑推理”与“推理能力”
我将逻辑推理与推理能力进行了对比，特别强调一点，逻辑推理不等于演绎。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
对应义务教育阶段，当中提到“推理一般包括合情推理和演绎推理”，虽用词不同，但主要含义基本一致。其实，合情推理借用了美国数学家波利亚所著的《数学与猜想》里的提法，书中对合情推理的解释比归纳、类比还要再宽泛一些。
在逻辑推理主要表现中，提到了发现问题和提出命题，而推理能力（义务教育）用的是探索思路，发现结论。现在的这种表述，其实在本质上也是一致的。其实逻辑推理指两大类，一类是演绎的，一类是非演绎的。
当然，他们都是发现问题和提出问题的重要手段，一般来说，演绎推理是确认结论，而发现问题和提出问题则指合情推理和归纳、类比。
“数学建模”与“模型思想”
模型思想（义务教育）会与高中的数学建模在外延上有些不一致。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。是非常综合的一种素养。
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。里面综合性地包含了抽象、推理、想象和直观等。且其主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。明确“四能”的内容。
义务教育阶段，模型思想的范围就很窄了。其中提到用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律。主要指数与代数里面三个比较重要的模型——用数学符号建立方程、不等式和函数。
不过，在徐立志先生所著的《数学方法论》里提到数学模型有两大类，一类叫狭义的数学建模，一类叫广义的数学建模。
狭义的数学模型就是针对一个问题，进行建模。广义的数学建模指数学的概念、公式、方程以及函数，都是对一类事物的本质或内在数量关系的一种抽象。如自然数的概念——现实世界中具体事物的模型。还有很多问题都可以用一元二次方程、二元一次方程表达，因此从这个意义上讲，都属于广义的数学模型范畴。
可是在几何中，教师又该怎么理解模型呢？如果从广义的角度出发，“点”“直线”“射线”“角”都是数学概念，虽然学生对无限对象的理解有些难，但它们把现实世界中的事物抽象出来，所以属于几何里面的模型。
现在义务教育阶段关于模型思想的描述，更多局限在数量关系层面上，教师可以有更宽泛一点的理解。
“直观想象”与“几何直观与空间观念”
“直观想象”和“几何直观与空间观念”的理解，对初中教师来讲，既要瞻前，看小学的内容，又要顾后，了解高中的内容。直观想象是指借助几何直观和空间想象，感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形理解和解决数学问题的素养。其实，几何直观和空间想象是两件不一样的事，但出于一些其他因素的考虑，高中将其合二为一，直接叫“直观想象”。
义务教育阶段是两个词，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。例如学习代数里的公式，教师会让学生通过画图来帮助理解，其实就是用图表征公式。一方面对公式有了直观的理解；另一方面是发展学生意识和能力的途径。
高中直观想象主要表现为建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。数形结合和几何直观存在怎样的关系，数形结合可以从数到形，也有从形到数。
从数到形，是几何直观的一种，即把数的东西表达成形的内容。从形到数，不属于几何直观，则是用数的东西表达形。例如用图形说话，指从数到形。当然几何直观不仅仅把数的内容表达成形，还可以把其他事物的内在要素以及要素之间的关系进行表达。
比如几个人握手问题，通过分析问题当中的对象，以及对象之间的关系，表达成了一个图形。这也是很多研究者写论文都愿意用一张图来表示的原因，让读者可以更加清晰明白。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
这些描述是空间观念外显的形式，课程里指在图形的变换过程中，去体现学生空间想象的能力和意识。比如二维变三维、位置上的变化、折叠等知识……既发展学生空间观念，也考察了学生空间观念的能力。
“数学运算”与“运算能力”
对义务教育阶段运算能力的理解，现在更丰富了，它是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
高中的数学运算素养对义务教育阶段要求过高。义务教育的运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
有一点请注意，运算能力不仅指怎么算，如何算对，它已经不能够满足现在教学中对运算能力的内涵要求。课程改革刚开始的时候，就应意识到运算能力的改变，毕竟算得快可以用计算机代替，所以学生面对问题时，怎么计算才是最重要的能力。
信息科学技术的发展，使我们发现，在数学学习里，原来的目标和现在已发生了很大的变化。国家日新月异，科学技术领域也在不断地探索，奋斗者号可以潜到10000多米深的海底，嫦娥5号在月球上探索。科技领先的背后，是人才的培养，他们是不是光算得快、算得对？是不是把知识学完就扔掉？肯定不行。所以，教育者任重道远，数学的教育太重要了。
“数据分析”与“数据分析观念”
数据分析，是课程里比较新的内容，怎样理解呢？在大数据时代，学生统计意识也很重要，所以要让公民具有统计的基本素养。懂得收集数据、整理数据、提取数据……要为学生终身发展、未来的生活奠定基础。这里，初高中对数学分析都是一致的要求。
总的来说，这些核心素养已经跟学科课程有着紧密的联系。例如数与代数领域，体现了数学运算、数感、符号意识/数学抽象、逻辑推理、几何直观、模型思想这些核心素养。其中最突出的是模型思想。在图形与几何领域，核心素养的重点是空间观念。在统计与概率领域，就是数据分析。
因此，在不同领域的大单元教学设计时，首先要考虑对应的核心素养，要让其在教学实施当中体现出来，能够让学生或者课堂更好地渗透。
作者：刘晓玫（首都师范大学教师教育学院教授）
