能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。四则运算都是从两个已知数得出第三个数的运算，称为二元运算。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。它是人们在长期使用算筹的基础上发明的，是我国古代的一项重要发明，东汉末数学家徐岳对此有记载。②加强估算训练，提高运算技能。
一．概念描述
现代数学：一般说来，运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的一对按次序取出的元素a、b，有集合A中唯一确定的第三个元素c和它们对应，叫作集合A中定义了一种运算。
201 1版《课标》提出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
小学数学：一般认为，根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。
运算技能的特征是正确、熟练；运算能力是运算技能与逻辑思维等的有机整合，不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。
二．概念解读
小学数学离不开“算”，运算在小学数学课程中占有重要的地位。它有着怎样的历史渊源呢？
小学阶段的运算一般指加、减、乘、除，统称为四则运算。四则运算都是从两个已知数得出第三个数的运算，称为二元运算。接运算等级分，加、减为一级运算，乘除为二级运算。
四则运算在我国起源很早，春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算就是使用算筹进行计算的方法。算筹（又称算子）是我国古代一种十进位制计算工具---竹制的小棍，起源于商代的占卜。（如图1）
用算筹计算452 327的过程：
图1
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”《夏阳侯算经》补充说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”
意思是用算筹记数的方法是：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式……以此类推，遇零则置空。这样从右到左，纵横相间，就可以用算筹表示出任意的自然数了。由于位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
我同古代另一个重要的计算工具就是算盘。它是人们在长期使用算筹的基础上发明的，是我国古代的一项重要发明，东汉末数学家徐岳对此有记载。算盘在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具，是中华民族对人类的一大贡献，而且一直延续至今。人们往往把算盘的发明与中国古代四大发明相提并论。
三．教学建议
小学阶段“数的运算”包括数的运算意义和四则运算之间的关系、获得运算的结果（估算、精算）、运算律和运算性质，以及运用运算解决实际问题四部分内容。
运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。如何培养和提高运算能力呢？
(1)培养和提高运算能力的基础是理解运算意义
①运算与解决问题不可分，理解运算意义的途径是联系生活情境，唤起学生的生活经验，强调对问题实际意义和运算意义的真正理解。
比如，对于除法运算的引入，有的教材设计了丰富的“分一分”活动，帮助学生积累活动经验，为抽象出除法奠定了基础。
问题1：8个桃子分给两只猴子，每只猴子可能吃几个？如果平均分给两只猴子呢？然后用圆片代替桃子，让学生分一分。
问题2：12个苹果平均放在4个盘子里，每个盘子放几个？每个盘子放2个，可以放几盘？
②运用多种模型，理解运算的丰富内涵。每一种运算都有多个模型，教师要深入理解教材，有针对性地加以设计。例如，加法有合并或移入模型，减法有拿走、相差或移出模型，乘法有求几个相同加数的和、倍数、长方形的面积、搭配问题模型，除法有等分除，包含除模型等。教师要依据不同模型，创设不同情境，丰富学生的理解。
③结合生活实例，引导学生表达对运算的理解。
(2)培养与发展运算能力要实现算理、算法的统一
运算能力不仅包括学生能根据计算法则正确计算，而且包括能理解运算的道理。算理是四则运算的依据，它是由数学概念、运算定律，运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以。算理为法则提供了依据，法则又使算理可操作化，即要进行“理法交融”的学习。例如，对两位数乘两位数12 x 14可以分成两部分来理解：两位数乘两位数，第二个因数的个位4乘12得的是哪部分，第二个因数十位1乘12得的是哪部分（如图2）；也可以分成四部分来理解（如图3），把乘的过程与图结合起来，目的是深入理解算理。
图2
图3
运用直观模型理解两位数乘两位数算理，在图与式的勾连中，让学生深入理解算理，体会两位数乘两位数的本质：乘法意义和乘法分配律。
(3)培养与发展运算能力要靠有效训练，逐步达成熟练、灵活、简洁
①加强口算训练，提高运算技能。口算训练是一项需要长期坚持的教学任务，一方面要经常练，另一方面要科学合理地练，做到适时、适量、适度，并注意周期、个性化和纠错。
②加强估算训练，提高运算技能。估算在日常生活中有着广泛的应用，教师要不失时机地培养学生的估算意识，选择合理的估算方法，灵活地运用数之间及数量之间的关系，发展学生的数感，培养学生灵活处理问题的能力，提高学生的运算能力。例如，一副乒乓球拍48元，买19副，带1000元够吗？运用估算48x19≈50x20=1000（元），所以带1000元肯定够。这种情况下，上估比较好，一下就解决了问题。
③鼓励算法多样化，提高运算技能。
总之，运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展具有递进性和综合性。在数学发展的历史上，不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的。运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他能力而独立发展；运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力等数学能力相互支持着。
四．推荐阅读
(1)《课程标准案例式导读与学习内容要点》（张丹、白永潇东北师范大学出版社，2012）
该书第二章第二节第64-78页“数的运算”论述了数的运算的内容及训练。
(2)《小学数学》（吴正宪、张丹，华东师范大学出版杜，2008）
该书第16-27页论述了如何科学地培养学生的运算技能。
