共对换3次，逆序数由0变为3，奇偶性对换。对于行列式的任一项,其中为自然排列，为排列的逆序数，对换元素与成,这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换。故有，于是这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列和列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列和列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性。行列式的性质记行列式称为行列式的转置行列式。证毕以表示行列式的第行，以表示第列。
为了研究n阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
证 先证相邻对换的情形。
设排列为,对换与，变为。显然，这些元素的逆序数经过对换并不改变，而两元素的逆序数改变为：当时，经对换后的逆序数增加而的逆序数不变；当时，经对换后的逆序数不变而的逆序数减少。所以排列与排列的奇偶性不同。
再证一般对换的情形。
设排列为,把它作次相邻对换，调成，再做次相邻对换，调成,总之，经过次相邻对换，排列调成排列，所以这两个排列的奇偶性相反。
列如12345，变成14325。2和3对换1次，变成13245；4和2对换1次，变成13425；4和3对换1次，变成14325。共对换3次，逆序数由0变为3，奇偶性对换。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数
证 由定理知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立。 证毕。
利用定理，我们来讨论行列式定义的另一种表示法。
对于行列式的任一项
,
其中为自然排列，为排列的逆序数，对换元素与成
,
这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换。设新的行标排列的逆序数为，则为奇数（由定理1得知）；设新的列标排列的逆序数为，则（奇偶性对换）。故有，于是
这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列和列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列和列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性。经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。于是，经过若干次对换。使：
列标排列（逆序数为）变为自然排列（逆序数为0）；
行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此排列为，其逆序数为,则有
，
又，若，则（即)，可见排列由排列所唯一确定。
定理 2 n阶行列式也可定义为，其中为行标排列的逆序数。
证 按行列式定义有，
记。
按上面讨论知：对于中任一项，总有且仅有中的某一项与之对应并相等；反之，对于中的任一项，也总有且仅有中的某一项与之对应并相等，于是与中的项可以一一对应相等，从而。
行列式的性质矩阵和转置矩阵的关系对应行列式与的关系。
记
行列式称为行列式的转置行列式。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
证 记的转置行列式
即，按定义
。
而由定理 2 ，有
，故。
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号
证 设行列式
是由行列式交换两行得到的，即当时，;当时，于是
其中为自然排列，为排列的逆序数。设排列的逆序数为，则，故
。 证毕
以表示行列式的第行，以表示第列。交换两行记作，交换
两列记作。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证 把这两行互换，有，故。
性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。
第行（或列）乘以，记作（或）。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第行（或列）提出公因子，记作（或）。
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质 5 行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和：
则等于下列两个行列式之和：
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。例如以数乘第列加第列上（记作），有
（以数乘第行加第行上（记作）。
